Ekstremum funkcji

[Tafla]

Chciałbym wyliczyć ekstremum funkcji.

Czy można to zrobić jakoś szybko i prosto w jakimś programie?

[Martin_S]

tak można np. https://www.wolframalpha.com/

[dmatusz3]

W Mathcadzie były chyba specjalne polecenia (maximize i minimize).

W SMath to raczej niemożliwe, lub nie znam takiej funkcji.

 

Natomiast w programie Maxima to jest raczej możliwe.

 

Co prawda można tam wyliczyć tylko minimum, ale można także sprawdzić minimum funkcji odwrotnej.

 

W Maximie można także tradycyjnie - wyliczyć pierwszą pochodną funkcji i zbadać jej miejsca zerowe - wtedy znajdziemy ekstrema (ale nie wiemy czy max czy min). Znak drugiej pochodnej w punkcie zerowym pierwszej pochodnej określi nam rodzaj ekstremum.

 

Postaram się przygotować jakiś opis w Maximie.

[Marek-M]

Wolframalpha moim zdaniem daje radę:

 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+x%5E3%2B-3x%5E2%2B2x-3

 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+x%5E3%2B-3x%5E2%2B2x-3

[dmatusz3]

Wolframalpha moim zdaniem daje radę:

 

 

Faktycznie spokojnie daje radę.

 

To może tylko pokażę pewną metodę, którą ćwiczyliśmy wiele lat temu w technikum - czyli ręcznie.

Użyję do tego jednak Maximy, ale sam tok rozumowania można zastosować bez komputera (oczywiście bez rysowania funkcji).

 

Napiszemy jaką funkcję będziemy badać:

 

Narysujmy dla ułatwienia tę funkcję.

 

Teraz obliczymy pierwszą pochodną badanej funkcji

 

Zbadamy teraz miejsca zerowe pierwszej pochodnej (to zwykłe równanie kwadratowe).

 

W miejscach zerowych pierwszej pochodnej badana funkcja posiada ekstrema.

Zobaczmy to na wykresie.

 

Do określenia czy to jest min czy max potrzebujemy wyliczyć drugą pochodną.

 

Jeśli wartość drugiej pochodnej w miejscu zerowym pierwszej pochodnej jest mniejsza od zera to badana funkcja posiada maksimum, jeśli na odwrót to minimum.

 

Zobaczmy na wykresie

 

Oraz sam plik Maximy

ekstremum_funkcji.wxmx

[Martin_S]

Dodam tylko że można zrezygnować z liczenia drugiej pochodnej bo widac ze pochodna 1 z lewej z dodatniej przechodzi na ujemną - mamy maksimum...po prawej pochodna ujemna przechodzi w dodatnią - mamy minimum. W/w wnioski na podstawie wykresu 1 pochodnej, jakby co ;)

[Tafla]

Dziękuję wszystkim!  :good: